与えられた積分を計算します。 $\int \sin(3x) \cos(2x) \, dx$

## (3) の問題

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \sin(3x) \cos(2x) \, dx$

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$

これを用いて、

$\sin(3x) \cos(2x) = \frac{1}{2} (\sin(3x+2x) + \sin(3x-2x)) = \frac{1}{2} (\sin(5x) + \sin(x))$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \sin(3x) \cos(2x) \, dx = \int \frac{1}{2} (\sin(5x) + \sin(x)) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin(5x) + \sin(x)) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int \sin(5x) \, dx + \int \sin(x) \, dx \right)$

$\int \sin(5x) \, dx = -\frac{1}{5} \cos(5x) + C_1$

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} \cos(5x) - \cos(x) \right) + C = -\frac{1}{10} \cos(5x) - \frac{1}{2} \cos(x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{10} \cos(5x) - \frac{1}{2} \cos(x) + C$

## (4) の問題

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \cos^4 x \, dx$

2. 解き方の手順

$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$ の公式を利用します。

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

$\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}$ を用いて、

$\cos^4 x = \frac{1 + 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}}{4} = \frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{8} = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \cos^4 x \, dx = \int \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int (3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)) \, dx$

$= \frac{1}{8} \left( 3x + 4 \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(4x)}{4} \right) + C$

$= \frac{1}{8} \left( 3x + 2\sin(2x) + \frac{\sin(4x)}{4} \right) + C$

$= \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$