関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} \log x & (x \geq 1) \\ \frac{ax+b}{x+1} & (x < 1) \end{cases} $ $f(x)$ が $x=1$ で微分可能となるような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} \log x & (x \geq 1) \\ \frac{ax+b}{x+1} & (x < 1) \end{cases}$

$f(x)$ が $x=1$ で微分可能となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=1$ で微分可能であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(x)$ が $x=1$ で連続であること。

(2) $x=1$ における左側微分係数と右側微分係数が一致すること。

(1) 連続性について：

$x=1$ における右側からの極限値は $\lim_{x \to 1+0} f(x) = \log 1 = 0$ です。

$x=1$ における左側からの極限値は $\lim_{x \to 1-0} f(x) = \frac{a+b}{1+1} = \frac{a+b}{2}$ です。

$f(1) = \log 1 = 0$ です。

したがって、$f(x)$ が $x=1$ で連続であるためには、

$\frac{a+b}{2} = 0$

$a+b = 0$

$b = -a$

である必要があります。

(2) 微分可能性について：

$f(x) = \log x$ ($x \geq 1$) の導関数は $f'(x) = \frac{1}{x}$ なので、$x=1$ における右側微分係数は $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$ です。

$f(x) = \frac{ax+b}{x+1}$ ($x < 1$) の導関数は、商の微分公式を用いて計算します。

$f'(x) = \frac{a(x+1) - (ax+b)}{(x+1)^2} = \frac{ax+a-ax-b}{(x+1)^2} = \frac{a-b}{(x+1)^2}$

$x=1$ における左側微分係数は $\frac{a-b}{(1+1)^2} = \frac{a-b}{4}$ です。

微分可能であるためには、右側微分係数と左側微分係数が一致する必要があります。

$\frac{a-b}{4} = 1$

$a-b = 4$

$a-(-a) = 4$

$2a = 4$

$a = 2$

$b = -a$ なので、$b = -2$

3. 最終的な答え

$a=2$