与えられた関数を $t$ で微分する問題です。関数は $\frac{d}{dt} \left(5 - \frac{d}{dt}\right) [\sin(5t - 2) - \cos(5t - 2)]$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数を $t$ で微分する問題です。関数は $\frac{d}{dt} \left(5 - \frac{d}{dt}\right) [\sin(5t - 2) - \cos(5t - 2)]$ です。

2. 解き方の手順

まず、内側の微分を実行します。

$\frac{d}{dt} [\sin(5t - 2) - \cos(5t - 2)] = \frac{d}{dt} \sin(5t - 2) - \frac{d}{dt} \cos(5t - 2)$

ここで、$\frac{d}{dt} \sin(5t - 2) = 5\cos(5t - 2)$ および $\frac{d}{dt} \cos(5t - 2) = -5\sin(5t - 2)$ であるため、

$\frac{d}{dt} [\sin(5t - 2) - \cos(5t - 2)] = 5\cos(5t - 2) - (-5\sin(5t - 2)) = 5\cos(5t - 2) + 5\sin(5t - 2)$.

したがって、与えられた式は

$\frac{d}{dt} \left(5 - \frac{d}{dt}\right) [\sin(5t - 2) - \cos(5t - 2)] = \frac{d}{dt} [5(\sin(5t - 2) - \cos(5t - 2)) - (5\cos(5t - 2) + 5\sin(5t - 2))]$

$= \frac{d}{dt} [5\sin(5t - 2) - 5\cos(5t - 2) - 5\cos(5t - 2) - 5\sin(5t - 2)]$

$= \frac{d}{dt} [-10\cos(5t - 2)]$

$= -10 \frac{d}{dt} \cos(5t - 2)$

$= -10(-5\sin(5t - 2))$

$= 50\sin(5t - 2)$.

3. 最終的な答え

$50\sin(5t - 2)$