関数 $f(x) = -x^3 + 12x - 7$ の $-3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 12x - 7$ の $-3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 12$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

したがって、$x = -2$ と $x = 2$ が極値を取る候補です。

(3) 定義域 $-3 \le x \le 5$ の端点 $x = -3$ および $x = 5$ と、極値の候補 $x = -2$ および $x = 2$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = -(-3)^3 + 12(-3) - 7 = 27 - 36 - 7 = -16$

$f(-2) = -(-2)^3 + 12(-2) - 7 = 8 - 24 - 7 = -23$

$f(2) = -(2)^3 + 12(2) - 7 = -8 + 24 - 7 = 9$

$f(5) = -(5)^3 + 12(5) - 7 = -125 + 60 - 7 = -72$

(4) 計算した $f(x)$ の値を比較して、最大値と最小値を求めます。

最大値は $f(2) = 9$ であり、最小値は $f(5) = -72$ です。

3. 最終的な答え

x = 2 のとき、最大値 9

x = 5 のとき、最小値 -72