与えられた3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ の極大値、極小値を求め、それを用いて3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ の極大値、極小値を求め、それを用いて3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3(x-1)^2 = 0$ より、 $x = 1$

次に、$f(x)$ の増減表を作ります。

$x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

$x = 1$ のとき、$f'(x) = 0$

$x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で極値を取りません。実際、$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号は変化しないので、$x=1$ は変曲点となります。

$f(1) = 1^3 - 3(1^2) + 3(1) + 1 = 1 - 3 + 3 + 1 = 2$

$f(x)$ は極値を持ちません。つまり、極大値も極小値もありません。選択肢の中から「なし」を選びます。

$x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ の実数解の個数を求めます。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ は常に増加する関数で、極値がないことから、$f(x) = 0$ となる $x$ はただ一つです。

$f(0) = 1 > 0$, $f(-1) = -1 - 3 - 3 + 1 = -6 < 0$ なので、実数解は $-1 < x < 0$ の範囲に存在します。

$f(x)=(x-1)^3+2$と変形できるので、$f(x)=0$の解は$(x-1)^3=-2$より、$x-1=\sqrt[3]{-2}$で、$x=1-\sqrt[3]{2}$

したがって、$x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数は1個です。

3. 最終的な答え

極大値：⑥ なし

極小値：⑥ なし

異なる実数解の個数：1個