関数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ の極大値、極小値を求め、3次方程式 $x^3 - 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ の極大値、極小値を求め、3次方程式 $x^3 - 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

(3) $x = -1$ と $x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号がどのように変化するかを調べます。

* $x < -1$ のとき、例えば $x = -2$ を代入すると $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$。よって、$f(x)$ は増加します。

* $-1 < x < 1$ のとき、例えば $x = 0$ を代入すると $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$。よって、$f(x)$ は減少します。

* $x > 1$ のとき、例えば $x = 2$ を代入すると $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$。よって、$f(x)$ は増加します。

したがって、$x = -1$ で極大、$x = 1$ で極小となります。

(4) 極大値、極小値を計算します。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ （極大値）

$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ （極小値）

(5) 3次方程式 $x^3 - 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求めます。

極大値が $3 > 0$、極小値が $-1 < 0$ であるので、3次関数は $x$ 軸と異なる3点で交わります。したがって、異なる実数解の個数は3個です。

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: 2

ウ: 3