関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ について、以下の問いに答える問題です。 - $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。 - 極大値と極小値を求める。 - $y = f(x)$ のグラフの概形を選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ について、以下の問いに答える問題です。

- $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

- 極大値と極小値を求める。

- $y = f(x)$ のグラフの概形を選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ を微分すると、

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = -1$ と $x = 3$。

したがって、アの選択肢は ①。

(2) 極大値と極小値を求める。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 2 = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$

$x = 3$ のとき、$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 2 = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$

増減表を考えると、$x = -1$ で極大値 $7$ をとり、$x = 3$ で極小値 $-25$ をとる。

したがって、イの選択肢は ③、ウの選択肢は ①。

(3) $y = f(x)$ のグラフの概形を選ぶ。

三次関数であり、$x^3$ の係数が正であることから、グラフは右肩上がり。

極大値が $7$、極小値が $-25$ であることを考慮すると、グラフは図示できないため、省略します。

3. 最終的な答え

ア：①

イ：③

ウ：①