関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ の極大値、極小値を求め、それを用いて3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ の極大値、極小値を求め、それを用いて3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、極値の候補となる $x$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ は $x=1$ である。

(3) $f'(x)$ の符号の変化を調べる。$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$, $x > 1$ のとき $f'(x) > 0$。つまり、$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号は変わらないため、$f(x)$ は $x=1$ で極値を持たない。

(4) $f(x)$ は極値を持たないので、極大値、極小値は「なし」となる。

(5) $x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ を解く。

$x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = (x-1)^3 + 2 = 0$

$(x-1)^3 = -2$

$x-1 = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$

$x = 1 - \sqrt[3]{2}$

(6) したがって、$x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0$ の異なる実数解は1つである。

3. 最終的な答え

極大値: ⑥ なし

極小値: ⑥ なし

異なる実数解の個数: 1個