関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ の $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ の $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、導関数を計算して極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ です。

定義域が $1 \le x \le 3$ なので、$x = 0$ は範囲外です。$x=2$ は定義域に含まれます。

次に、$x = 1, 2, 3$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$

$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1$

$f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 5 = 27 - 27 + 5 = 5$

したがって、最大値は $f(3) = 5$、最小値は $f(2) = 1$ です。

3. 最終的な答え

$x = 3$ のとき、最大値 $5$

$x = 2$ のとき、最小値 $1$