関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ の極大値と極小値を求め、それを用いて3次方程式 $2x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。選択肢から適切なものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ の極大値と極小値を求め、それを用いて3次方程式 $2x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。選択肢から適切なものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$6x(x-1) = 0$

$x = 0, 1$

次に、$f(x)$ の増減表を作成します。

- $x<0$ のとき、$f'(x) > 0$

- $0<x<1$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x>1$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x=0$ で極大、$x=1$ で極小となります。

$f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$

$f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$

よって、極大値は1、極小値は0です。

次に、3次方程式 $2x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求めます。

$f(x)=0$となるxの個数を求めます。

$x=0$で極大値1をとり、$x=1$で極小値0をとります。

極小値が0であることから、$x=1$は解の1つです。

また、$f(0)=1$であることから、$x=0$の付近にもう一つ解があるはずです。

$x=1$は解なので、$f(x)$は$(x-1)$を因数に持つはずです。

$2x^3 - 3x^2 + 1 = (x-1)(2x^2-x-1)=(x-1)(x-1)(2x+1)=(x-1)^2(2x+1)$

したがって、方程式は $(x-1)^2(2x+1)=0$となり、$x=1$ (重解) と $x=-1/2$ を解に持ちます。

異なる実数解は2個です。

3. 最終的な答え

エ: 4

オ: 3

カ: 2