関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ の極大値、極小値を求め、それらを用いて3次方程式 $2x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ の極大値、極小値を求め、それらを用いて3次方程式 $2x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x(x-1) = 0$ より、$x = 0, 1$

$x = 0$ と $x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

- $x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

- $0 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = 0$ で極大、$x = 1$ で極小となります。

$f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$

$f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$

よって、極大値は $1$、極小値は $0$ です。

$y = f(x)$ のグラフを描くと、$x$ 軸と $x = 1$ で接し、$x=0$ 付近で極大値 $1$ をとることがわかります。

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の個数に等しくなります。

$f(x)=0$ は $x=1$ を解に持つため、$2x^3 - 3x^2 + 1 = (x-1)(2x^2 - x - 1) = (x-1)(x-1)(2x+1) = (x-1)^2 (2x+1) = 0$.

したがって、$x=1, -1/2$ が解なので異なる実数解は2個となります。

3. 最終的な答え

極大値: 4

極小値: 3

実数解の個数: 2