次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3 \cos^2 x} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3 \cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母を $\cos^2 x$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3 \cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 3} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 3} dx$

ここで、$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x dx$ となります。

また、積分範囲も変わります。$x=0$ のとき $u = \tan 0 = 0$、$x=\frac{\pi}{4}$ のとき $u = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ となります。

したがって、積分は

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du$

となります。

これは $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ の形をしているので、$a = \sqrt{3}$ を代入すると、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du = \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{u}{\sqrt{3}} \right]_{0}^{1}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan 0$

$\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arctan 0 = 0$ であるから、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan 0 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{3}}{18}$