与えられた微分積分の問題です。具体的には、逆三角関数、極限、多変数関数の連続性、高階導関数、および関数の極値に関する問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた微分積分の問題です。具体的には、逆三角関数、極限、多変数関数の連続性、高階導関数、および関数の極値に関する問題が含まれています。

2. 解き方の手順

**[1] 逆三角関数**

(1) $\arcsin(a) = \arccos\frac{1}{3}$

$a = \sin(\arccos\frac{1}{3})$

$\arccos\frac{1}{3} = \theta$ とおくと、$\cos\theta = \frac{1}{3}$。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (∵ $\arccos$ の範囲は $[0, \pi]$ なので、$\sin$ は正)

したがって、$a = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

(2) $2\arcsin(\sin\frac{7\pi}{12}) + \arcsin(\sin\frac{\pi}{24}) = (b)$

$\sin\frac{7\pi}{12} = \sin(\pi - \frac{5\pi}{12}) = \sin\frac{5\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$

$\sin\frac{5\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

$\arcsin(\sin\frac{\pi}{24}) = \frac{\pi}{24}$ (∵$-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{24} \leq \frac{\pi}{2}$)

したがって、$2\arcsin(\sin\frac{7\pi}{12}) + \arcsin(\sin\frac{\pi}{24}) = 2 \arcsin(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}) + \frac{\pi}{24}$

**[2] 極限と連続性**

(1) $\lim_{x\to\infty} (2^x + 3^x + 5^x)^{\frac{1}{x}}$

$\lim_{x\to\infty} (5^x((\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x + 1))^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to\infty} 5((\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x + 1)^{\frac{1}{x}} = 5(0 + 0 + 1)^0 = 5$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

$x = my^2$ とおくと、

$\lim_{y\to 0} f(my^2, y) = \lim_{y\to 0} \frac{my^2y^2}{m^2y^4 + y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{my^4}{y^4(m^2 + 1)} = \frac{m}{m^2 + 1}$

この値は $m$ に依存するので、原点 $(0, 0)$ で連続ではない。

**[3] 高階導関数とパラメータ表示された関数の微分**

(1) $f(x) = x^3\sin x$ について、$f^{(6)}(\frac{\pi}{2})$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2\sin x + x^3\cos x$

$f''(x) = 6x\sin x + 3x^2\cos x + 3x^2\cos x - x^3\sin x = (6x - x^3)\sin x + 6x^2\cos x$

ライプニッツの公式を用いる。

(2) $x = \log(1 + t^2)$, $y = t - \arctan t$ について、$t = 1$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求めます。

$\frac{dx}{dt} = \frac{2t}{1 + t^2}$, $\frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{1 + t^2} = \frac{t^2}{1 + t^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{t^2/(1 + t^2)}{2t/(1 + t^2)} = \frac{t}{2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + t^2}{2t}$

$t = 1$ を代入すると、$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{2} = \frac{1}{2}$

**[4] 極値とマクローリン展開**

(1) $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求めます。

$\log f(x) = \frac{1}{x}\log x$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x^2}\log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \log x = 0 \Leftrightarrow \log x = 1 \Leftrightarrow x = e$

$x < e$ のとき $f'(x) > 0$, $x > e$ のとき $f'(x) < 0$ より、$x = e$ で極大値をとる。

極大値は $f(e) = e^{\frac{1}{e}}$

(2) $f(x) = \arctan x$ ($-1 < x < 1$) をマクローリン展開して現れる 7次の項 ($x^7$ の項) を求めます。

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

したがって、$x^7$ の項は $-\frac{x^7}{7}$

3. 最終的な答え

[1]

(1) (a) = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) (b) = $2\arcsin(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}) + \frac{\pi}{24}$

[2]

(1) 5

(2) 原点で連続ではない

[3]

(1) 解答できません

(2) $\frac{1}{2}$

[4]

(1) $x = e$ で極大値 $e^{\frac{1}{e}}$

(2) $-\frac{x^7}{7}$