関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の定積分を利用して、次の不等式を証明します。 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$$ ただし、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の定積分を利用して、次の不等式を証明します。

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$$

ただし、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \frac{1}{x}$ のグラフを考えます。区間 $[k, k+1]$ ($k$ は自然数) において、$f(x)$ は単調減少関数です。したがって、区間 $[k, k+1]$ における $f(x)$ の定積分は、長方形の面積 $\frac{1}{k}$ よりも小さくなります。

$$\int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx < \frac{1}{k}$$

この不等式を $k = 1$ から $k = n$ まで足し合わせると、

$$\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$

左辺は積分区間が連続しているので、

$$\int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$$

定積分を計算すると、

$$\int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx = [\log x]_1^{n+1} = \log(n+1) - \log 1 = \log(n+1) - 0 = \log(n+1)$$

したがって、

$$\log(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$$

これにより、求める不等式が証明されました。

3. 最終的な答え

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$$