関数 $f(x) = \sqrt{x^5}$ が与えられています。 (1) $f(1)$ の値を求める。 (2) $f'(x)$ を求める。 (3) $f'(1)$ の値を求める。 (4) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x^5}$ が与えられています。

(1) $f(1)$ の値を求める。

(2) $f'(x)$ を求める。

(3) $f'(1)$ の値を求める。

(4) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ の値を求める。

$f(x) = \sqrt{x^5} = x^{\frac{5}{2}}$ なので、

$x$ に 1 を代入すると、

$f(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$

(2) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x^{\frac{5}{2}}$ を微分すると、

$f'(x) = \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$

(3) $f'(1)$ の値を求める。

$f'(x) = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$ に $x=1$ を代入すると、

$f'(1) = \frac{5}{2} (1)^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}$

(4) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

点 $(1, f(1))$ は $(1, 1)$ であり、接線の傾きは $f'(1) = \frac{5}{2}$ です。

よって、接線の方程式は

$y - 1 = \frac{5}{2} (x - 1)$

$y = \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} + 1$

$y = \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = 1$

(2) $f'(x) = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$

(3) $f'(1) = \frac{5}{2}$

(4) $y = \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$