与えられた関数 $f(x) = \sqrt{x^5}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $f(1)$ の値を求める。 (2) $f'(x)$ を求める。 (3) $f'(1)$ の値を求める。 (4) $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \sqrt{x^5}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $f(1)$ の値を求める。

(2) $f'(x)$ を求める。

(3) $f'(1)$ の値を求める。

(4) $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ の計算

関数 $f(x)$ に $x=1$ を代入する。

$f(1) = \sqrt{1^5} = \sqrt{1} = 1$

(2) $f'(x)$ の計算

$f(x) = \sqrt{x^5} = (x^5)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$ と表せる。

$f(x)$ を $x$ で微分する。

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$

(3) $f'(1)$ の計算

$f'(x)$ に $x=1$ を代入する。

$f'(1) = \frac{5}{2}(1)^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}$

(4) 接線の方程式の計算

点 $(1, f(1)) = (1, 1)$ における接線の方程式は、 $y - f(1) = f'(1)(x-1)$ で与えられる。

$y - 1 = \frac{5}{2}(x-1)$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2} + 1$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = 1$

(2) $f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$

(3) $f'(1) = \frac{5}{2}$

(4) $y = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$