関数 $y = (1+x^2)^x$ の導関数を対数微分法を用いて求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (1+x^2)^x$ の導関数を対数微分法を用いて求める。

2. 解き方の手順

1. 両辺の自然対数をとる：

$\ln y = \ln (1+x^2)^x$

$\ln y = x \ln (1+x^2)$

2. 両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分として計算し、右辺は積の微分として計算する：

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(1+x^2) + x \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2}$

3. $\frac{dy}{dx}$ について解く：

$\frac{dy}{dx} = y \left( \ln(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2} \right)$

4. $y = (1+x^2)^x$ を代入する：

$\frac{dy}{dx} = (1+x^2)^x \left( \ln(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (1+x^2)^x \left( \ln(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2} \right)$