関数 $f(x) = \sqrt{x^5}$ について、以下の問題を解く。 (1) $f(1)$ の値を求める。 (2) $f'(x)$ を求める。 (3) $f'(1)$ の値を求める。 (4) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x^5}$ について、以下の問題を解く。

(1) $f(1)$ の値を求める。

(2) $f'(x)$ を求める。

(3) $f'(1)$ の値を求める。

(4) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ を求める。

$f(x) = \sqrt{x^5} = x^{5/2}$ に $x=1$ を代入する。

$f(1) = (1)^{5/2} = 1$

(2) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x^{5/2}$ を微分する。

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$

(3) $f'(1)$ を求める。

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$ に $x=1$ を代入する。

$f'(1) = \frac{5}{2}(1)^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}$

(4) 点 $(1, f(1)) = (1, 1)$ における接線の方程式を求める。

接線の傾きは $f'(1) = \frac{5}{2}$ である。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ であり、$x_1 = 1$, $y_1 = 1$, $m = \frac{5}{2}$ を代入する。

$y - 1 = \frac{5}{2}(x - 1)$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2} + 1$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = 1$

(2) $f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$

(3) $f'(1) = \frac{5}{2}$

(4) $y = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$