関数 $f(x) = (5x-4)^{3/4}$ が与えられています。 (1) $f(4)$ の値を求めます。 (2) $f'(x)$ を求めます。 (3) $f'(4)$ の値を求めます。 (4) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(4, f(4))$ における接線の方程式を求めます。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (5x-4)^{3/4}$ が与えられています。

(1) $f(4)$ の値を求めます。

(2) $f'(x)$ を求めます。

(3) $f'(4)$ の値を求めます。

(4) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(4, f(4))$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(4)$ の計算

関数 $f(x)$ に $x=4$ を代入します。

$f(4) = (5(4)-4)^{3/4} = (20-4)^{3/4} = (16)^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8$

(2) $f'(x)$ の計算

$f(x) = (5x-4)^{3/4}$ を微分します。連鎖律（チェーンルール）を用います。

$f'(x) = \frac{3}{4} (5x-4)^{\frac{3}{4}-1} \cdot 5 = \frac{15}{4} (5x-4)^{-1/4}$

(3) $f'(4)$ の計算

$f'(x)$ に $x=4$ を代入します。

$f'(4) = \frac{15}{4} (5(4)-4)^{-1/4} = \frac{15}{4} (20-4)^{-1/4} = \frac{15}{4} (16)^{-1/4} = \frac{15}{4} (2^4)^{-1/4} = \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{8}$

(4) 接線の方程式

接点の座標は $(4, f(4)) = (4, 8)$ です。

接線の傾きは $f'(4) = \frac{15}{8}$ です。

接線の方程式は、点傾斜形 $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

$y - 8 = \frac{15}{8}(x - 4)$

$y = \frac{15}{8}x - \frac{15}{2} + 8$

$y = \frac{15}{8}x - \frac{15}{2} + \frac{16}{2}$

$y = \frac{15}{8}x + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f(4) = 8$

(2) $f'(x) = \frac{15}{4} (5x-4)^{-1/4}$

(3) $f'(4) = \frac{15}{8}$

(4) $y = \frac{15}{8}x + \frac{1}{2}$