関数 $f(x) = \exp(\sin x)$ の $x=0$ における2次のテイラー展開（または漸近展開）を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \exp(\sin x)$ の $x=0$ における2次のテイラー展開（または漸近展開）を求める問題です。

2. 解き方の手順

テイラー展開は以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + O(x^3)$

まず、$f(x) = \exp(\sin x)$ を $x$ で微分します。

$f'(x) = \exp(\sin x) \cos x$

$f''(x) = \exp(\sin x) \cos^2 x - \exp(\sin x) \sin x = \exp(\sin x) (\cos^2 x - \sin x)$

次に、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ を計算します。

$f(0) = \exp(\sin 0) = \exp(0) = 1$

$f'(0) = \exp(\sin 0) \cos 0 = \exp(0) \cdot 1 = 1$

$f''(0) = \exp(\sin 0) (\cos^2 0 - \sin 0) = \exp(0) (1^2 - 0) = 1$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2 + O(x^3) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + O(x^3)$

したがって、2次の漸近展開は $1 + x + \frac{1}{2}x^2$ となります。

3. 最終的な答え

$1 + x + \frac{1}{2}x^2$