区間 $I$ 上の関数 $f: I \to \mathbb{R}$ が狭義単調増加であることの定義を述べ、さらに、$I$ 上の関数 $f$ と $g$ が狭義単調増加かつ正値であるとき、積 $fg$ が狭義単調増加であることを証明する。ここで、$h: I \to \mathbb{R}$ が正値とは、$h(x) > 0$ がすべての $x \in I$ で成り立つことをいう。最後に、$f$ または $g$ が正値とは限らないとき、この主張が成り立たない例を挙げる。

1. 問題の内容

区間 $I$ 上の関数 $f: I \to \mathbb{R}$ が狭義単調増加であることの定義を述べ、さらに、$I$ 上の関数 $f$ と $g$ が狭義単調増加かつ正値であるとき、積 $fg$ が狭義単調増加であることを証明する。ここで、$h: I \to \mathbb{R}$ が正値とは、$h(x) > 0$ がすべての $x \in I$ で成り立つことをいう。最後に、$f$ または $g$ が正値とは限らないとき、この主張が成り立たない例を挙げる。

2. 解き方の手順

(1) 狭義単調増加の定義：

関数 $f: I \to \mathbb{R}$ が狭義単調増加であるとは、任意の $x_1, x_2 \in I$ について、$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1) < f(x_2)$ が成り立つことである。

(2) 積 $fg$ が狭義単調増加であることの証明：

$x_1, x_2 \in I$ を任意にとり、$x_1 < x_2$ とする。$f$ と $g$ は狭義単調増加かつ正値であるから、

$f(x_1) < f(x_2)$ かつ $f(x_1) > 0$、

$g(x_1) < g(x_2)$ かつ $g(x_1) > 0$

が成り立つ。積 $fg$ の $x_1$ と $x_2$ における値を考えると、

$f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) = f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_2) + f(x_1)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) = g(x_2)(f(x_2) - f(x_1)) + f(x_1)(g(x_2) - g(x_1))$

となる。ここで、$f(x_2) - f(x_1) > 0$、$g(x_2) > 0$、$f(x_1) > 0$、$g(x_2) - g(x_1) > 0$ であるから、

$f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) > 0$

すなわち、

$f(x_1)g(x_1) < f(x_2)g(x_2)$

したがって、$fg$ は狭義単調増加である。

(3) $f$ または $g$ が正値とは限らないとき、この主張が成り立たない例：

$I = \mathbb{R}$ とし、$f(x) = x$、$g(x) = x$ とする。このとき、$f$ と $g$ は狭義単調増加であるが、正値ではない。$fg(x) = x^2$ となる。$x_1 = -1$、$x_2 = 0$ とすると、$x_1 < x_2$ であるが、$fg(x_1) = (-1)^2 = 1$、$fg(x_2) = 0^2 = 0$ なので、$fg(x_1) > fg(x_2)$ となり、$fg$ は狭義単調増加ではない。

3. 最終的な答え

(1) 関数 $f: I \to \mathbb{R}$ が狭義単調増加であるとは、任意の $x_1, x_2 \in I$ について、$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1) < f(x_2)$ が成り立つことである。

(2) （証明は上記参照）

(3) $I = \mathbb{R}$、$f(x) = x$、$g(x) = x$