極限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしているので、ロピタルの定理を使うことができます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、もし $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在すれば、

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

が成り立つという定理です。

今回は $f(x) = \log x$ 、$g(x) = \sqrt{x}$ とおくと、$f'(x) = \frac{1}{x}$ 、$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ となります。

したがって、

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$$

3. 最終的な答え

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