$0 \leq x \leq \pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求め、また、そのときの $x$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$0 \leq x \leq \pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求め、また、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を変形します。

$y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + 3\cos^2 x$

$y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + 2\cos^2 x$

$y = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x + 2\cos^2 x$

$y = 1 + \sin 2x + 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$y = 1 + \sin 2x + 1 + \cos 2x$

$y = \sin 2x + \cos 2x + 2$

$y = \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4}) + 2$

次に、$0 \leq x \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq 2x + \frac{\pi}{4} \leq 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ です。

$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ が最大になるのは、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のときです。

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{8}$

このとき、$y = \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{2} + 2 = \sqrt{2} + 2$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ が最小になるのは、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ のときです。

$2x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

$x = \frac{5\pi}{8}$

このとき、$y = \sqrt{2} \sin \frac{3\pi}{2} + 2 = -\sqrt{2} + 2$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{8}$ のとき、最大値 $2 + \sqrt{2}$

$x = \frac{5\pi}{8}$ のとき、最小値 $2 - \sqrt{2}$