$x > 0$ のとき、不等式 $$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} > \log(1+x)$$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式

$$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} > \log(1+x)$$

を証明する問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ を次のように定義します。

$$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \log(1+x)$$

この不等式を証明するには、$x > 0$ において $f(x) > 0$ を示す必要があります。

まず、$f(0)$ を計算します。

$$f(0) = 0 - \frac{0^2}{2} + \frac{0^3}{3} - \log(1+0) = 0 - 0 + 0 - \log(1) = 0$$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$$f'(x) = 1 - x + x^2 - \frac{1}{1+x} = \frac{(1-x+x^2)(1+x) - 1}{1+x} = \frac{1 + x - x - x^2 + x^2 + x^3 - 1}{1+x} = \frac{x^3}{1+x}$$

$x > 0$ のとき、$f'(x) = \frac{x^3}{1+x} > 0$ となります。したがって、$f(x)$ は $x > 0$ で単調増加です。

$f(0) = 0$ であり、$f(x)$ は $x > 0$ で単調増加であるため、$x > 0$ において $f(x) > 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

したがって、$x > 0$ のとき、不等式

$$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} > \log(1+x)$$

は成り立つ。