方程式 $x^4 = ae^x$ が異なる3個の実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

## 問題7の回答

1. 問題の内容

方程式 $x^4 = ae^x$ が異なる3個の実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は $x^4 = ae^x$ である。

これを変形して、

$a = \frac{x^4}{e^x}$

とし、$f(x) = \frac{x^4}{e^x}$ とおく。

関数 $y = f(x)$ のグラフを描き、$y=a$との交点の個数が３個になるような $a$ の範囲を求める。

まず、$f(x)$ の増減を調べる。

$f'(x) = \frac{4x^3e^x - x^4e^x}{(e^x)^2} = \frac{x^3(4-x)}{e^x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0, 4$ のときである。

$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

| x | ... | 0 | ... | 4 | ... |

|-------|-------|-------|-------|-------|-------|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | 0 | ↑ | 最大値 | ↓ |

$x \to \infty$ のとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x} = 0$ である。

$x \to -\infty$ のとき、$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^4}{e^x} = \infty$ である。

$x=4$ のとき、$f(4) = \frac{4^4}{e^4} = \frac{256}{e^4}$ である。

$f(x) = a$ が3個の異なる実数解を持つ条件は、$0 < a < \frac{256}{e^4}$ である。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{256}{e^4}$