極限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1.1}}{(1.1)^x}$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1.1}}{(1.1)^x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を適用できる可能性があります。ただし、指数関数 $(1.1)^x$ があるので、対数を取って評価する方がやりやすいです。

まず、関数 $f(x) = \frac{x^{1.1}}{(1.1)^x}$ の対数を取ります。

$\ln f(x) = \ln \left( \frac{x^{1.1}}{(1.1)^x} \right) = 1.1 \ln x - x \ln 1.1$

$\lim_{x \to +\infty} \ln f(x) = \lim_{x \to +\infty} (1.1 \ln x - x \ln 1.1) = \lim_{x \to +\infty} x \left( \frac{1.1 \ln x}{x} - \ln 1.1 \right)$

ここで、$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ であることを利用します。

したがって、$\lim_{x \to +\infty} \frac{1.1 \ln x}{x} = 0$

よって、$\lim_{x \to +\infty} \ln f(x) = \lim_{x \to +\infty} x (0 - \ln 1.1) = \lim_{x \to +\infty} -x \ln 1.1 = -\infty$

$\ln 1.1 > 0$ なので、$-x \ln 1.1$ は $x \to +\infty$ で $-\infty$ に発散します。

したがって、$\lim_{x \to +\infty} \ln f(x) = -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{\ln f(x)} = e^{-\infty} = 0$

3. 最終的な答え

0