関数 $f(x) = x \log x$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \log x$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f(x) = x \log x$ より、積の微分法を用いて

$f'(x) = (x)' \log x + x (\log x)' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\log x + 1 = 0$

$\log x = -1$

$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f'(x) = \log x + 1$ より、

$f''(x) = \frac{1}{x}$

$f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{\frac{1}{e}} = e > 0$ であるから、$x = \frac{1}{e}$ のとき極小値を取ります。

極小値は

$f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log (e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e} = -e^{-1}$

したがって、$x = e^{-1}$ のとき極小値 $-e^{-1}$ をとります。

3. 最終的な答え

$x = e^{-1}$ のとき極小値 $-e^{-1}$ をとる。