$x>0$ で定義された関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ について、増減、極値、凹凸、変曲点を求め、グラフの概形を描け。

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5. (1)

1. 問題の内容

$x>0$ で定義された関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ について、増減、極値、凹凸、変曲点を求め、グラフの概形を描け。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x\log x}{x^4} = \frac{2\log x - 3}{x^3}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \log x = 0 \Leftrightarrow \log x = 1 \Leftrightarrow x = e$

次に、$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow 2\log x - 3 = 0 \Leftrightarrow \log x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = e^{\frac{3}{2}}$

増減表を書く。

| x | 0 < x < e | e | e < x |

| ------------- | ----------------------- | ------------- | ------------------ |

| f'(x) | + | 0 | - |

| f(x) | 増加 | 極大値 1/e | 減少 |

| x | 0 < x < e^(3/2) | e^(3/2) | e^(3/2) < x |

| ------------- | ----------------------- | ------------- | ------------------ |

| f''(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 凹 | 変曲点 | 凸 |

グラフの概形：

- $x \to 0$ のとき、$f(x) \to -\infty$

- $x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$

- $x=e$ のとき、極大値 $f(e) = \frac{1}{e}$

- $x=e^{3/2}$ のとき、変曲点 $f(e^{3/2}) = \frac{3}{2e^{3/2}}$

3. 最終的な答え

増減、極値、凹凸、変曲点は上記参照。グラフの概形も上記参照。

##

5. (2)

1. 問題の内容

(1)を利用して、$e^{\pi}$と$\pi^{e}$の大小を比較せよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = \frac{\log x}{x}$ について考える。

$e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ の大小を比較するために、両辺の対数をとる。

$\log (e^{\pi}) = \pi$

$\log (\pi^{e}) = e\log \pi$

$\frac{\log e}{e}$ と $\frac{\log \pi}{\pi}$ を考える。

$f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$

$f(\pi) = \frac{\log \pi}{\pi}$

$f(x)$ は $x>e$ で減少関数である。$\pi > e$ なので、$f(e) > f(\pi)$。

$\frac{1}{e} > \frac{\log \pi}{\pi} \Leftrightarrow \frac{\log e}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$

$\pi \log e > e\log \pi \Leftrightarrow \log e^{\pi} > \log \pi^{e} \Leftrightarrow e^{\pi} > \pi^{e}$

3. 最終的な答え

$e^{\pi} > \pi^{e}$

## 7

1. 問題の内容

方程式 $x^4 = ae^x$ が異なる3個の実数解をもつように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

2. 解き方の手順

$x^4 = ae^x$ を $a = \frac{x^4}{e^x}$ と変形する。ここで、$g(x) = \frac{x^4}{e^x}$ とおき、$g(x)$ のグラフを描く。

$g'(x) = \frac{4x^3e^x - x^4e^x}{e^{2x}} = \frac{x^3(4 - x)}{e^x}$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 4$

$g(0) = 0$

$g(4) = \frac{4^4}{e^4} = \frac{256}{e^4}$

増減表を書く。

| x | x < 0 | 0 | 0 < x < 4 | 4 | 4 < x |

| ------------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |

| g'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| g(x) | 減少 | 極小値 0 | 増加 | 極大値 256/e^4 | 減少 |

$x \to \infty$ のとき、$g(x) \to 0$

$x^4 = ae^x$ が異なる3個の実数解を持つためには、$a$ は極大値を取る必要がある。つまり、$a = \frac{256}{e^4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{256}{e^4}$