関数 $2^x$ のマクローリン級数を求め、指定された形式で表された式の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $2^x$ のマクローリン級数を求め、指定された形式で表された式の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開です。すなわち、

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots$$

与えられた関数は $f(x) = 2^x$ です。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = 2^0 = 1$

次に、導関数を求めます。

$f'(x) = 2^x \ln 2$

$f'(0) = 2^0 \ln 2 = \ln 2$

$f''(x) = 2^x (\ln 2)^2$

$f''(0) = 2^0 (\ln 2)^2 = (\ln 2)^2$

$f'''(x) = 2^x (\ln 2)^3$

$f'''(0) = 2^0 (\ln 2)^3 = (\ln 2)^3$

一般に、$f^{(n)}(x) = 2^x (\ln 2)^n$ なので、$f^{(n)}(0) = (\ln 2)^n$

したがって、マクローリン級数は次のようになります。

$$2^x = 1 + (\ln 2)x + \frac{(\ln 2)^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln 2)^3}{3!}x^3 + \cdots + \frac{(\ln 2)^n}{n!}x^n + \cdots$$

問題の形式に合わせて空欄を埋めます。

(ア) は $f(0) = 1$

(イ) は $f'(0) = \ln 2$

(ウ) は $(\ln 2)^2$

(エ) は $2! = 2$

(オ) は $(\ln 2)^3$

(カ) は $3! = 6$

(キ) は $(\ln 2)^n$

(ク) は $n!$

3. 最終的な答え

(ア) 1

(イ) log2

(ウ) (log2)^2

(エ) 2

(オ) (log2)^3

(カ) 6

(キ) (log2)^n

(ク) n!