与えられた数学の問題は、主に微分、関数の性質、グラフの概形に関するものです。具体的には、以下の小問が含まれています。 (1) いくつかの関数の微分を求める。 (2) 関数 $f(x) = a \cos x + bx + c$ が与えられた条件を満たすときの定数 $a, b, c$ の値を求める。 (3) $x \tan y = 1$ を満たす微分可能な関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で表す。 (4) 媒介変数表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。 (5) 曲線 $y = \frac{\log x}{x} (x>0)$ に接し、原点を通る直線の方程式を求める。 (6) $f(x)$ が $x=1$ で微分可能となる $a$ の値を求める。 ただし、 $f(x) = \begin{cases} \log x & (x\geq 1) \\ ax+b & (x<1) \end{cases} $ (7) 関数 $y = \frac{x^4 + 4}{x^2}$ の定義域、増減、極値、グラフの凹凸、漸近線を調べ、グラフの概形を描く。 (8) $a$ を定数とするとき、方程式 $x^2 - 3 = ae^x$ の異なる実数解の個数を求める。 (9) $e$ を自然対数の底とする。$e \leq p < q$ のとき、不等式 $\log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q-p}{e}$ が成り立つことを証明する。 (10) $x \geq 0$ のとき、不等式 $1-x \leq e^{-x}$ を示す。 (11) $n$ 人 ($n \geq 3$) の選手の中からくじ引きで2人の選手を選び、1回の試合を行う。 このようにして試合を $n$ 回行うとき、同じ選手同士の試合が一度も起こらない確率は $\frac{1}{e}$ より小さいことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、主に微分、関数の性質、グラフの概形に関するものです。具体的には、以下の小問が含まれています。

(1) いくつかの関数の微分を求める。

(2) 関数 $f(x) = a \cos x + bx + c$ が与えられた条件を満たすときの定数 $a, b, c$ の値を求める。

(3) $x \tan y = 1$ を満たす微分可能な関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で表す。

(4) 媒介変数表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。

(5) 曲線 $y = \frac{\log x}{x} (x>0)$ に接し、原点を通る直線の方程式を求める。

(6) $f(x)$ が $x=1$ で微分可能となる $a$ の値を求める。 ただし、 $f(x) = \begin{cases} \log x & (x\geq 1) \\ ax+b & (x<1) \end{cases}$

(7) 関数 $y = \frac{x^4 + 4}{x^2}$ の定義域、増減、極値、グラフの凹凸、漸近線を調べ、グラフの概形を描く。

(8) $a$ を定数とするとき、方程式 $x^2 - 3 = ae^x$ の異なる実数解の個数を求める。

(9) $e$ を自然対数の底とする。$e \leq p < q$ のとき、不等式 $\log(\log q) - \log(\log p) < \frac{q-p}{e}$ が成り立つことを証明する。

(10) $x \geq 0$ のとき、不等式 $1-x \leq e^{-x}$ を示す。

(11) $n$ 人 ($n \geq 3$) の選手の中からくじ引きで2人の選手を選び、1回の試合を行う。 このようにして試合を $n$ 回行うとき、同じ選手同士の試合が一度も起こらない確率は $\frac{1}{e}$ より小さいことを証明する。

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下のような手順で解いていきます。

(1) 微分：基本的な微分の公式（合成関数の微分、積の微分、商の微分など）を適用します。

* ア：$y = \frac{1}{x^2 - 1} = (x^2 - 1)^{-1}$。

$y' = -1 (x^2 - 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$。

* イ：$y = \frac{1}{1 + \cos x} = (1 + \cos x)^{-1}$。

$y' = -1 (1 + \cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$。

* ウ：$y = \sin^2 x \cos 2x$。

$y' = 2 \sin x \cos x \cos 2x + \sin^2 x (-2 \sin 2x) = \sin 2x \cos 2x - 2 \sin^2 x \sin 2x = \sin 2x (\cos 2x - 2 \sin^2 x)$。

* エ：$y = (\log x)^2$。

$y' = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$。

* オ：$y = \log \left| \frac{x+1}{x+2} \right| = \log |x+1| - \log |x+2|$。

$y' = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$。

* カ：$y = \frac{e^x}{e^x + 1}$。

$y' = \frac{e^x (e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$。

* キ：$y = a^{2x+1}$。

$y' = a^{2x+1} \cdot \log a \cdot 2 = 2 a^{2x+1} \log a$。

* ク：$y = x^x$。

$\log y = x \log x$。

$\frac{y'}{y} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$。

$y' = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$。

(2) 連立方程式：$f(x), f'(x), f''(x)$ を計算し、与えられた条件から $a, b, c$ に関する連立方程式を立てて解きます。

* $f(x) = a \cos x + bx + c$

* $f(0) = a + c = 15$

* $f'(x) = -a \sin x + b$

* $f'(0) = b = 7$

* $f''(x) = -a \cos x$

* $f''(0) = -a = -8$, so $a = 8$

* $8 + c = 15$, so $c = 7$

したがって、$a = 8, b = 7, c = 7$。

(3) 陰関数の微分：$x \tan y = 1$ を $x$ で微分し、$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

* $\tan y + x \cdot \frac{1}{\cos^2 y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

* $\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan y \cos^2 y}{x} = -\frac{\sin y \cos y}{x} = - \frac{\sin y \cos y}{\frac{1}{\tan y}} = - \sin y \cos y \tan y = -\sin^2 y$

(4) 媒介変数表示された関数の微分：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d/dt (dy/dx)}{dx/dt}$ を用います。

* $x = \cos t + t \sin t$

* $y = \sin t - t \cos t$

* $\frac{dx}{dt} = -\sin t + \sin t + t \cos t = t \cos t$

* $\frac{dy}{dt} = \cos t - \cos t + t \sin t = t \sin t$

* $\frac{dy}{dx} = \frac{t \sin t}{t \cos t} = \tan t$

* $\frac{d}{dt} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{1}{\cos^2 t}$

* $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{1}{\cos^2 t}}{t \cos t} = \frac{1}{t \cos^3 t}$

(5) 接線の方程式：$y = \frac{\log x}{x}$ の導関数を求め、接点の座標を $(t, \frac{\log t}{t})$ とおき、接線の方程式を求めます。その接線が原点を通る条件から $t$ を求めます。

* $y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* 接点 $(t, \frac{\log t}{t})$ における接線の方程式は $y - \frac{\log t}{t} = \frac{1 - \log t}{t^2} (x - t)$

* この直線が原点 $(0, 0)$ を通るから、$-\frac{\log t}{t} = \frac{1 - \log t}{t^2} (-t)$

* $-\frac{\log t}{t} = \frac{\log t - 1}{t}$

* $- \log t = \log t - 1$

* $2 \log t = 1$

* $\log t = \frac{1}{2}$

* $t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

* 接点の座標は $(\sqrt{e}, \frac{1}{2\sqrt{e}})$

* 傾きは $\frac{1 - \log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2e}$

* したがって、接線の方程式は $y = \frac{1}{2e} x$

(6) 関数 $f(x)$ が $x=1$ で微分可能となる $a$ の値を求める。

* $f(1) = \log 1 = 0$

* $\lim_{x\to 1^+} f(x) = 0$

* $\lim_{x\to 1^-} f(x) = a(1)+b = a+b$

$f(x)$ が $x=1$ で連続であるためには $a+b=0$. したがって $b=-a$.

$f(x) = \begin{cases} \log x & (x\geq 1) \\ ax-a & (x<1) \end{cases}$

$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & (x\geq 1) \\ a & (x<1) \end{cases}$

$\lim_{x\to 1^+} f'(x) = 1$. $\lim_{x\to 1^-} f'(x) = a$.

したがって、$x=1$ で微分可能となるためには $a=1$.

(7) $y = \frac{x^4 + 4}{x^2}$ のグラフの概形を描く。

$y = x^2 + \frac{4}{x^2}$. 定義域は $x \neq 0$.

$y' = 2x - \frac{8}{x^3}$. $y'=0$ の時 $2x = \frac{8}{x^3}$, つまり $x^4 = 4$, $x = \pm \sqrt{2}$.

$y'' = 2 + \frac{24}{x^4} > 0$, したがって下に凸.

$x = \pm \sqrt{2}$ で極小値 $4$.

$\lim_{x\to 0} y = +\infty$. $\lim_{x\to \infty} y = +\infty$.

$y = x^2$ は漸近線.

(8) 方程式 $x^2 - 3 = ae^x$ の異なる実数解の個数を求める。

$a = \frac{x^2 - 3}{e^x}$. $f(x) = \frac{x^2-3}{e^x}$ とおく。

$f'(x) = \frac{2x e^x - (x^2 - 3) e^x}{e^{2x}} = \frac{-x^2 + 2x + 3}{e^x} = -\frac{(x-3)(x+1)}{e^x}$.

$f'(x) = 0$ の時 $x = 3$ または $x = -1$.

$x = -1$ で極小値 $f(-1) = -2e$.

$x = 3$ で極大値 $f(3) = \frac{6}{e^3}$.

(9) 省略

(10) 省略

(11) 省略

3. 最終的な答え

(1)

* ア: $y' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

* イ: $y' = \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

* ウ: $y' = \sin 2x (\cos 2x - 2 \sin^2 x)$

* エ: $y' = \frac{2 \log x}{x}$

* オ: $y' = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

* カ: $y' = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

* キ: $y' = 2 a^{2x+1} \log a$

* ク: $y' = x^x (\log x + 1)$

(2) $a = 8, b = 7, c = 7$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\sin^2 y$

(4) $\frac{dy}{dx} = \tan t$, $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{t \cos^3 t}$

(5) $y = \frac{1}{2e} x$

(6) $a=1$