次の対数関数のグラフを概略し、垂直漸近線を求め、定義域と値域を求めます。 (a) $y = \log_2(x-3)$ (b) $y = \log_2 4(x-3)$ (c) $y = \log_2 (x-3)^4$

1. 問題の内容

次の対数関数のグラフを概略し、垂直漸近線を求め、定義域と値域を求めます。

(a) $y = \log_2(x-3)$

(b) $y = \log_2 4(x-3)$

(c) $y = \log_2 (x-3)^4$

2. 解き方の手順

(a) $y = \log_2(x-3)$

* 垂直漸近線: $x-3 = 0$ より $x = 3$。

* 定義域: $x-3 > 0$ より $x > 3$。したがって定義域は $(3, \infty)$。

* 値域: 対数関数の値域は実数全体なので、$(-\infty, \infty)$。

(b) $y = \log_2 4(x-3)$

$y = \log_2 4 + \log_2 (x-3)$ と変形できます。$\log_2 4 = 2$なので、$y = 2 + \log_2 (x-3)$。

* 垂直漸近線: $x-3 = 0$ より $x = 3$。

* 定義域: $x-3 > 0$ より $x > 3$。したがって定義域は $(3, \infty)$。

* 値域: 対数関数の値域は実数全体なので、$(-\infty, \infty)$。

(c) $y = \log_2 (x-3)^4$

$y = 4 \log_2 |x-3|$ と変形できます。

* 垂直漸近線: $x-3 = 0$ より $x = 3$。

* 定義域: $(x-3)^4 > 0$ より、$x \neq 3$。したがって定義域は $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$。

* 値域: $(-\infty, \infty)$

3. 最終的な答え

(a) $y = \log_2(x-3)$

垂直漸近線: $x = 3$

定義域: $(3, \infty)$

値域: $(-\infty, \infty)$

(b) $y = \log_2 4(x-3)$

垂直漸近線: $x = 3$

定義域: $(3, \infty)$

値域: $(-\infty, \infty)$

(c) $y = \log_2 (x-3)^4$

垂直漸近線: $x = 3$

定義域: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$

値域: $(-\infty, \infty)$