## 解析学第1回レポート問題

## 解析学第1回レポート問題

以下に、問題文の一部を解きます。

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1. (1) 不等式 $\frac{1}{3^x} < \frac{1}{3\sqrt{3}}$ を解け。**

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2. 解き方の手順**

不等式の両辺の逆数をとると、不等号の向きが変わることに注意します。

$3^x > 3\sqrt{3}$

$3^x > 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

$3^x > 3^{\frac{3}{2}}$

底が3で1より大きいので、指数を比較して

$x > \frac{3}{2}$

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3. 最終的な答え**

$x > \frac{3}{2}$

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1. (2) 方程式 $2\log_{10}(x-2) = \log_{10}9$ を解け。**

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2. 解き方の手順**

対数の性質を用いて、式を整理します。

$\log_{10}(x-2)^2 = \log_{10}9$

真数部分を比較して

$(x-2)^2 = 9$

$x-2 = \pm 3$

$x = 2 \pm 3$

$x = 5$ または $x = -1$

ただし、対数の真数は正である必要があるため、$x-2>0$つまり$x>2$を満たす必要があります。したがって、$x=-1$は解ではありません。

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3. 最終的な答え**

$x = 5$

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1. (3) 不等式 $-1 \le \tan x < \sqrt{3}$ ($0 \le x \le 2\pi$) を解け。**

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2. 解き方の手順**

$\tan x$ のグラフを考えます。

$-1 \le \tan x$ の解は、$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{4} \le x < \frac{5\pi}{2}$。ただし、$0 \le x \le 2\pi$の範囲であるため、$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{4} \le x < 2\pi$。

$\tan x < \sqrt{3}$ の解は、$0 \le x < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{2} < x < \frac{4\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$。

これらを両方満たす範囲は、

$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ が存在しないため、$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{3}$。矛盾しているので解なし。

$\frac{7\pi}{4} \le x \le 2\pi$。

また$\frac{\pi}{2} < x < \frac{4\pi}{3}$ と $\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$の解も考慮する必要がある。

$\tan x = -1$となるのは$x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。$\tan x = \sqrt{3}$となるのは$x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$。

したがって $-1 \le \tan x < \sqrt{3}$となるのは$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ か $\frac{7\pi}{4} \le x < \frac{3\pi}{2}$

$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$と$\frac{\pi}{2} < x < \frac{4\pi}{3}$が被る範囲を探す。$x$は$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{4\pi}{3}$。

$\frac{7\pi}{4} \le x < \frac{3\pi}{2}$と$\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$が被る範囲を探す。$x$は$\frac{7\pi}{4} \le x \le 2\pi$。

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3. 最終的な答え**

$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ と $\frac{7\pi}{4} \le x \le 2\pi$

$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{3}$ は不適。

$\frac{\pi}{2} < x < \frac{4\pi}{3}$ で$\tan x < \sqrt{3}$になるので$\frac{\pi}{2} < x < \frac{4\pi}{3}$を満たすかつ$-1 \le \tan x$を満たす必要がある.よって$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{4\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$ で $\tan x < \sqrt{3}$となるので$\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$を満たすかつ$-1 \le \tan x$を満たす必要がある.よって$\frac{7\pi}{4} \le x < 2\pi$

$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{4} \le x \le 2\pi$

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1. (4) 方程式 $\cos^{-1} x = 3\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。**

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2. 解き方の手順**

$\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ であるから、

$\cos^{-1} x = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$

したがって、

$x = \cos \pi = -1$

$\cos^{-1}x$ の定義域は$-1 \le x \le 1$であり、値域は$0 \le \cos^{-1}x \le \pi$なので$x=-1$は解として適切です。

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3. 最終的な答え**

$x = -1$

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2. (1) 極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x-6x^2+x^3}{2-5x^3}$ を求めよ。**

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2. 解き方の手順**

分子と分母を$x^3$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{6}{x} + 1}{\frac{2}{x^3} - 5} = \frac{0 - 0 + 1}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$

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3. 最終的な答え**

$-\frac{1}{5}$

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2. (2) 極限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}$ を求めよ。**

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2. 解き方の手順**

分子を因数分解します。

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2\cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

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3. 最終的な答え**

12

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2. (3) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$ を求めよ。**

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2. 解き方の手順**

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{\cos 2x} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$

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3. 最終的な答え**

2

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2. (4) 極限 $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。**

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2. 解き方の手順**

$y = (1+3x)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+3x)$。

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x}$。ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1+3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{1+3x} = 3$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = 3$ より、$\lim_{x \to 0} y = e^3$。

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3. 最終的な答え**

$e^3$

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2. (5) 極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x-3} - (x+1))$ を求めよ。**

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2. 解き方の手順**

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x-3} - (x+1)) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+2x-3} - (x+1))(\sqrt{x^2+2x-3} + (x+1))}{\sqrt{x^2+2x-3} + (x+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x-3 - (x^2+2x+1)}{\sqrt{x^2+2x-3} + x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-4}{\sqrt{x^2+2x-3} + x + 1} = 0$

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3. 最終的な答え**

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