関数 $f(x) = \cos(3x)$ を、与えられたマクローリン展開の式を用いて、4次の項まで展開する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos(3x)$ を、与えられたマクローリン展開の式を用いて、4次の項まで展開する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられたマクローリン展開の式を確認します。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$

次に、$f(x) = \cos(3x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = \cos(3x)$

$f'(x) = -3\sin(3x)$

$f''(x) = -9\cos(3x)$

$f'''(x) = 27\sin(3x)$

$f^{(4)}(x) = 81\cos(3x)$

$f^{(5)}(x) = -243\sin(3x)$

これらの導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(0) = -3\sin(0) = 0$

$f''(0) = -9\cos(0) = -9$

$f'''(0) = 27\sin(0) = 0$

$f^{(4)}(0) = 81\cos(0) = 81$

$f^{(5)}(\theta x) = -243\sin(3\theta x)$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + 0\cdot x + \frac{-9}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{81}{4!}x^4 + \frac{-243\sin(3\theta x)}{5!}x^5$

4次の項までを求めるので、5次の項は無視します。

$f(x) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{81}{24}x^4 = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$

3. 最終的な答え

$\cos(3x) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$