関数 $f(x) = x^{\frac{3e}{x}} \, (x > 0)$ の極値を求めよ。極値が存在する場合は、極値をとる $x$ の値も示し、極値が存在しない場合は「なし」と回答せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{\frac{3e}{x}} \, (x > 0)$ の極値を求めよ。極値が存在する場合は、極値をとる $x$ の値も示し、極値が存在しない場合は「なし」と回答せよ。

2. 解き方の手順

(1) 対数微分法を用いる。まず、$y = f(x) = x^{\frac{3e}{x}}$ とおく。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln(x^{\frac{3e}{x}}) = \frac{3e}{x} \ln x$

(2) 両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3e \left( -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \right) = 3e \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\ln x}{x^2} \right) = \frac{3e}{x^2} (1 - \ln x)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{3e}{x^2} (1 - \ln x) = x^{\frac{3e}{x}} \cdot \frac{3e}{x^2} (1 - \ln x)$

(3) 極値を求めるため、$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求める。

$x^{\frac{3e}{x}} \cdot \frac{3e}{x^2} (1 - \ln x) = 0$

$x > 0$ より、$x^{\frac{3e}{x}} > 0$ かつ $\frac{3e}{x^2} > 0$ なので、

$1 - \ln x = 0$ を解けばよい。

$\ln x = 1$

$x = e$

(4) $x = e$ の前後で $\frac{dy}{dx}$ の符号が変化するか調べる。

$x < e$ のとき、$\ln x < 1$ より $1 - \ln x > 0$。よって $\frac{dy}{dx} > 0$。

$x > e$ のとき、$\ln x > 1$ より $1 - \ln x < 0$。よって $\frac{dy}{dx} < 0$。

したがって、$x = e$ で極大となる。

(5) 極値を求める。

$f(e) = e^{\frac{3e}{e}} = e^3$

3. 最終的な答え

$x = e$ で極大値 $e^3$ をとる。