関数 $f(x) = x^{\frac{3e}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求めよ。極値が存在する場合は、極値を与える $x$ の値も示し、存在しない場合は「なし」と答える。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{\frac{3e}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求めよ。極値が存在する場合は、極値を与える $x$ の値も示し、存在しない場合は「なし」と答える。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の対数をとります。

$y = \ln(f(x)) = \ln(x^{\frac{3e}{x}}) = \frac{3e}{x} \ln(x)$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = 3e \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(x)}{x} \right) = 3e \left( \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} \right) = 3e \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right)$

$f(x)$ が極値を持つとき、$\frac{dy}{dx} = 0$ となります。

$3e \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right) = 0$

$1 - \ln(x) = 0$

$\ln(x) = 1$

$x = e$

次に、$x=e$ の前後で $\frac{dy}{dx}$ の符号を調べます。

$x < e$ のとき、$\ln(x) < 1$ より $1 - \ln(x) > 0$ なので、$\frac{dy}{dx} > 0$

$x > e$ のとき、$\ln(x) > 1$ より $1 - \ln(x) < 0$ なので、$\frac{dy}{dx} < 0$

したがって、$x = e$ で $f(x)$ は極大値を持ちます。

極大値は $f(e) = e^{\frac{3e}{e}} = e^3$

3. 最終的な答え

極大値：$e^3$

$x$ の値：$e$