(1) 関数 $f(x) = x^3 \sin x$ の6階微分 $f^{(6)}(x)$ を求め、$f^{(6)}(\pi/2)$ の値を求めます。 (2) パラメータ表示された関数 $x = \log(1+t^2)$, $y = t - \arctan t$ について、$t=1$ での $d^2y/dx^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 \sin x$ の6階微分 $f^{(6)}(x)$ を求め、$f^{(6)}(\pi/2)$ の値を求めます。

(2) パラメータ表示された関数 $x = \log(1+t^2)$, $y = t - \arctan t$ について、$t=1$ での $d^2y/dx^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 \sin x$ の6階微分を求めます。まず、いくつかの階微分を計算して規則性を見つけます。

$f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

$f''(x) = 6x \sin x + 3x^2 \cos x + 3x^2 \cos x - x^3 \sin x = (6x-x^3) \sin x + 6x^2 \cos x$

$f'''(x) = (6-3x^2) \sin x + (6x-x^3) \cos x + 12x \cos x - 6x^2 \sin x = (6-9x^2) \sin x + (18x - x^3) \cos x$

$f^{(4)}(x) = (-18x) \sin x + (6-9x^2) \cos x + (18-3x^2) \cos x - (18x-x^3) \sin x = (-36x+x^3) \sin x + (24-12x^2) \cos x$

$f^{(5)}(x) = (-36+3x^2) \sin x + (-36x+x^3) \cos x + (-24x) \cos x - (24-12x^2) \sin x = (-60+15x^2) \sin x + (-60x + x^3) \cos x$

$f^{(6)}(x) = (30x) \sin x + (-60+15x^2) \cos x + (-60+3x^2) \cos x - (-60x+x^3) \sin x = (-60x+x^3 + 30x) \sin x + (-60+15x^2 -60 + 3x^2) \cos x = (-30x+x^3) \sin x + (-120+18x^2) \cos x$

$f^{(6)}(\pi/2) = (-30\pi/2 + (\pi/2)^3) \sin(\pi/2) + (-120+18(\pi/2)^2) \cos(\pi/2) = (-15\pi + \pi^3/8) \cdot 1 + (-120 + 18(\pi^2/4))\cdot 0 = -15\pi + \frac{\pi^3}{8}$.

(2) パラメータ表示された関数の2階微分を求めます。

まず、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{1+t^2} = \frac{t^2}{1+t^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{t^2/(1+t^2)}{2t/(1+t^2)} = \frac{t^2}{2t} = \frac{t}{2}$.

次に、$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt} (\frac{t}{2}) \cdot \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+t^2}{2t} = \frac{1+t^2}{4t}$.

$t=1$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1+1^2}{4(1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $f^{(6)}(\pi/2) = \frac{\pi^3}{8} - 15\pi$

(2) $d^2y/dx^2 |_{t=1} = \frac{1}{2}$