数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{2}$ および $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a_2, a_3, a_4$ を求める。 (2) $a_{n+1}$ を $a_n$ と $n$ で表す。 (3) 一般項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{2}$ および $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a_2, a_3, a_4$ を求める。

(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ と $n$ で表す。

(3) 一般項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, a_3, a_4$ を求める。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2}$ に $n=1, 2, 3, 4$ を代入します。

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2}$ より、 $a_2 = a_1 + \frac{a_2}{4}$。よって $\frac{3}{4}a_2 = a_1 = \frac{1}{2}$ なので、$a_2 = \frac{2}{3}$。

$a_3 = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{3^2}$ より、$a_3 = a_1 + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{9}$。よって $\frac{8}{9}a_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ なので、$a_3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$。

$a_4 = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{3^2} + \frac{a_4}{4^2}$ より、$a_4 = a_1 + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{9} + \frac{a_4}{16}$。よって $\frac{15}{16} a_4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ なので、$a_4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{15} = \frac{4}{5}$。

(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ と $n$ で表す。

$a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{a_k}{k^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2} + \frac{a_{n+1}}{(n+1)^2} = a_n + \frac{a_{n+1}}{(n+1)^2}$

より、

$a_{n+1} - \frac{a_{n+1}}{(n+1)^2} = a_n$

$\frac{(n+1)^2 - 1}{(n+1)^2} a_{n+1} = a_n$

$\frac{n^2 + 2n}{(n+1)^2} a_{n+1} = a_n$

$\frac{n(n+2)}{(n+1)^2} a_{n+1} = a_n$

したがって、$a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} a_n$

(3) 一般項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。

$a_1 = \frac{1}{2}, a_2 = \frac{2}{3}, a_3 = \frac{3}{4}, a_4 = \frac{4}{5}$ より、$a_n = \frac{n}{n+1}$ と推定できる。

数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ となり成立。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k}{k+1}$ が成立すると仮定する。

$a_{k+1} = \frac{(k+1)^2}{k(k+2)} a_k = \frac{(k+1)^2}{k(k+2)} \cdot \frac{k}{k+1} = \frac{k+1}{k+2}$ となり、$n=k+1$ のときも成立。

よって、すべての自然数 $n$ に対して $a_n = \frac{n}{n+1}$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{2}{3}, a_3 = \frac{3}{4}, a_4 = \frac{4}{5}$

(2) $a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} a_n$

(3) $a_n = \frac{n}{n+1}$