関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - 18$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。 (2) 極大値と極小値を求める。 (3) $y=f(x)$ のグラフに関する記述を選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - 18$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

(2) 極大値と極小値を求める。

(3) $y=f(x)$ のグラフに関する記述を選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を計算し、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - 18$ より、

$f'(x) = 3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3(x+2)^2$

$f'(x) = 0$ となるのは、$3(x+2)^2 = 0$ のときなので、$x = -2$ です。

したがって、「オ」の答えは、② $x=-2$ の1つ。

(2) $x = -2$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

$f'(x) = 3(x+2)^2$ なので、$x \neq -2$ で $f'(x) > 0$ です。

したがって、$x = -2$ の前後で $f'(x)$ の符号は変化しないため、$x = -2$ で極値をとりません。

$f(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 12(-2) - 18 = -8 + 24 - 24 - 18 = -26$ です。

増減表を書くと

x | ... | -2 | ...

---|---|---|---

f'(x) | + | 0 | +

f(x) | ↑ | -26 | ↑

$f'(x)=0$となるのは$x=-2$のみで、この前後で$f'(x)$の符号は変化しないので、極値は存在しません。

したがって、「カ」の答えは⑥ ない、「キ」の答えは⑥ ない。

(3) 関数は3次関数で、$f'(x)=3(x+2)^2 \geq 0$なので単調増加である。つまり極大値、極小値を持たない。

3. 最終的な答え

オ: ②

カ: ⑥

キ: ⑥

ク: (選択肢不明)