## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算してください。存在しない場合は、理由を付記して「存在しない」と解答してください。

2. 曲線 $y = x^2$ の $0 \le x \le 1$ における曲線の長さ $L$ を求めてください。

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2. 解き方の手順

### 広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$

1. **積分を分割する:** 広義積分を、ある点（例えば0）で分割し、それぞれを極限で表します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{1}{1+x^2} dx$

2. **不定積分を求める:** $\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分は $\arctan(x)$ です。

3. **極限を計算する:**

$\lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} [\arctan(x)]_{a}^{0} = \lim_{a \to -\infty} (\arctan(0) - \arctan(a)) = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$

$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{b \to \infty} [\arctan(x)]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} (\arctan(b) - \arctan(0)) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

4. **結果を合計する:**

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

### 曲線 $y = x^2$ の長さ $L$

1. **曲線の長さの公式を使う:** 曲線 $y = f(x)$ の $a \le x \le b$ における長さ $L$ は次の式で求められます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

2. **導関数を求める:** $y = x^2$ の導関数は $y' = 2x$ です。

3. **公式に代入する:**

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^2} dx$

4. **積分を計算する:** この積分は初等関数では表せません。したがって、積分表または数値積分を使う必要があります。積分表を使うと次のようになります。

$\int \sqrt{a^2 + x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \sinh^{-1}(\frac{x}{a}) + C$

今回の場合は $a = \frac{1}{2}$ なので、

$\int \sqrt{1 + 4x^2} dx = \int 2 \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + x^2} dx = 2[\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + x^2} + \frac{(\frac{1}{2})^2}{2} \sinh^{-1}(\frac{x}{\frac{1}{2}})] + C = x\sqrt{\frac{1}{4} + x^2} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(2x) + C$

$L = [x\sqrt{\frac{1}{4} + x^2} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(2x)]_{0}^{1} = \sqrt{\frac{5}{4}} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(2) - 0 = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(2)$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、 $\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5})$

$L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \ln(2 + \sqrt{5})$

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3. 最終的な答え

1. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \pi$

2. $L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \ln(2 + \sqrt{5})$