広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、広義積分を以下のように書き換えます。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} \int_{a}^{b} \frac{1}{1+x^2} dx$

次に、$\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数を求めます。$\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数は $\arctan(x)$ です。したがって、

$\int_{a}^{b} \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) \Big|_a^b = \arctan(b) - \arctan(a)$

ここで、$a \to -\infty$ および $b \to \infty$ の極限を計算します。

$\lim_{b \to \infty} \arctan(b) = \frac{\pi}{2}$

$\lim_{a \to -\infty} \arctan(a) = -\frac{\pi}{2}$

したがって、

$\lim_{a \to -\infty, b \to \infty} (\arctan(b) - \arctan(a)) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$