関数 $y = |x^2 - 4|$ のグラフと直線 $y = 4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = |x^2 - 4|$ のグラフと直線 $y = 4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x^2 - 4|$ のグラフを描きます。

$x^2 - 4 = 0$ となるのは $x = \pm 2$ のときです。

$x^2 - 4 \geq 0$ となるのは $x \leq -2$ または $x \geq 2$ のときで、このとき $y = x^2 - 4$ となります。

$x^2 - 4 < 0$ となるのは $-2 < x < 2$ のときで、このとき $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ となります。

次に、$y = |x^2 - 4|$ と $y = 4$ の交点を求めます。

(1) $x \leq -2$ または $x \geq 2$ のとき：

$x^2 - 4 = 4$

$x^2 = 8$

$x = \pm 2\sqrt{2}$

(2) $-2 < x < 2$ のとき：

$4 - x^2 = 4$

$x^2 = 0$

$x = 0$

したがって、交点は $x = -2\sqrt{2}, -2, 0, 2, 2\sqrt{2}$ です。

囲まれる面積は、3つの部分に分けられます。

(i) $-2\sqrt{2} \leq x \leq -2$ と $2 \leq x \leq 2\sqrt{2}$ の部分は、$y = 4 - (x^2 - 4) = 8 - x^2$ で囲まれた面積です。

(ii) $-2 \leq x \leq 2$ の部分は、$y = 4 - (4 - x^2) = x^2$ で囲まれた面積です。

(i) の面積は：

$\int_{-2\sqrt{2}}^{-2} (4 - (x^2 - 4)) dx + \int_{2}^{2\sqrt{2}} (4 - (x^2 - 4)) dx = 2\int_{2}^{2\sqrt{2}} (8 - x^2) dx$

$= 2 \left[ 8x - \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{2\sqrt{2}} = 2 \left[ (16\sqrt{2} - \frac{16\sqrt{2}}{3}) - (16 - \frac{8}{3}) \right]$

$= 2 \left[ \frac{32\sqrt{2}}{3} - \frac{40}{3} \right] = \frac{64\sqrt{2} - 80}{3}$

(ii) の面積は：

$\int_{-2}^{2} (4 - (4 - x^2)) dx = \int_{-2}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{16}{3}$

したがって、全体の面積は：

$\frac{64\sqrt{2} - 80}{3} + \frac{16}{3} = \frac{64\sqrt{2} - 64}{3} = \frac{64(\sqrt{2} - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64(\sqrt{2} - 1)}{3}$