関数 $y = \sin{x}$ を、導関数の定義に従って微分せよ。

## 問題 3

1. 問題の内容

関数 $y = \sin{x}$ を、導関数の定義に従って微分せよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

である。

この定義に従い、$y = \sin{x}$ を微分する。

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin{x}}{h}$

三角関数の加法定理より、$\sin(x+h) = \sin{x}\cos{h} + \cos{x}\sin{h}$ であるから、

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin{x}\cos{h} + \cos{x}\sin{h} - \sin{x}}{h}$

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin{x}(\cos{h} - 1) + \cos{x}\sin{h}}{h}$

$y' = \lim_{h \to 0} \sin{x} \frac{\cos{h} - 1}{h} + \lim_{h \to 0} \cos{x} \frac{\sin{h}}{h}$

ここで、既知の極限 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} = 1$ および $\lim_{h \to 0} \frac{\cos{h} - 1}{h} = 0$ を用いると、

$y' = \sin{x} \cdot 0 + \cos{x} \cdot 1$

$y' = \cos{x}$

3. 最終的な答え

$\cos{x}$

## 問題 4

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + \log(4 - x^2)$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、定義域を求める。$\log(4 - x^2)$ が定義されるためには、$4 - x^2 > 0$ である必要があり、

$x^2 < 4$

$-2 < x < 2$

よって、定義域は $-2 < x < 2$ である。

次に、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 2x + \frac{1}{4 - x^2} \cdot (-2x) = 2x - \frac{2x}{4 - x^2} = \frac{2x(4 - x^2) - 2x}{4 - x^2} = \frac{8x - 2x^3 - 2x}{4 - x^2} = \frac{6x - 2x^3}{4 - x^2} = \frac{2x(3 - x^2)}{4 - x^2}$

極値を求めるために、$y' = 0$ となる $x$ を探す。

$\frac{2x(3 - x^2)}{4 - x^2} = 0$

分子が 0 となれば良いので、$2x(3 - x^2) = 0$

よって、$x = 0$ または $3 - x^2 = 0$ より、$x = \pm \sqrt{3}$

$x = 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$ はいずれも $-2 < x < 2$ を満たすため、これらは極値の候補である。

次に、$y''$ を求め、極大か極小かを判定する。

$y' = \frac{6x - 2x^3}{4 - x^2}$ を微分する。

$y'' = \frac{(6 - 6x^2)(4 - x^2) - (6x - 2x^3)(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{24 - 6x^2 - 24x^2 + 6x^4 + 12x^2 - 4x^4}{(4 - x^2)^2} = \frac{24 - 18x^2 + 2x^4}{(4 - x^2)^2}$

$x = 0$ のとき、$y'' = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} > 0$ より、極小値 $y(0) = 0^2 + \log(4 - 0^2) = \log{4}$

$x = \sqrt{3}$ のとき、$y'' = \frac{24 - 18(3) + 2(9)}{(4 - 3)^2} = \frac{24 - 54 + 18}{1} = -12 < 0$ より、極大値 $y(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 + \log(4 - (\sqrt{3})^2) = 3 + \log(4 - 3) = 3 + \log{1} = 3$

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$y'' = \frac{24 - 18(3) + 2(9)}{(4 - 3)^2} = \frac{24 - 54 + 18}{1} = -12 < 0$ より、極大値 $y(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^2 + \log(4 - (-\sqrt{3})^2) = 3 + \log(4 - 3) = 3 + \log{1} = 3$

3. 最終的な答え

極小値：$x=0$ のとき $y = \log{4}$

極大値：$x=\sqrt{3}$ のとき $y = 3$

極大値：$x=-\sqrt{3}$ のとき $y = 3$