定義域が $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ である関数 $y = \sin x$ の逆関数を $f(x)$ とする。 (1) $f(x)$ の定義域を求めよ。 (2) $y = f(x)$ について、$\frac{dx}{dy}$ を $y$ の関数として表せ。 (3) $f'(x)$ を $x$ の関数として表せ。

1. 問題の内容

定義域が $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ である関数 $y = \sin x$ の逆関数を $f(x)$ とする。

(1) $f(x)$ の定義域を求めよ。

(2) $y = f(x)$ について、$\frac{dx}{dy}$ を $y$ の関数として表せ。

(3) $f'(x)$ を $x$ の関数として表せ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x$ の定義域 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ における値域が $f(x)$ の定義域となる。$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ において、$-1 < \sin x < 1$ であるから、$f(x)$ の定義域は $-1 < x < 1$ となる。

(2) $y = f(x)$ より $x = \sin y$ である。これを $y$ で微分すると、

$$\frac{dx}{dy} = \cos y$$

ここで、$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ において $\cos y > 0$ であるから、$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}$ である。

したがって、$\frac{dx}{dy} = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ となる。

(3) $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ である。

$\frac{dx}{dy} = \cos y$ より、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$ である。

したがって、$f'(x) = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $-1 < x < 1$

(2) $\frac{dx}{dy} = \sqrt{1 - y^2}$

(3) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$