(1) 関数 $f(x) = x^{\frac{3}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求める。極値が存在する場合は、極値をとる $x$ の値を明示し、極値が存在しない場合は「なし」と回答する。 (2) 関数 $f(x) = \arctan x$ ($-1 < x < 1$) をマクローリン展開したときの $x^7$ の項を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^{\frac{3}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求める。極値が存在する場合は、極値をとる $x$ の値を明示し、極値が存在しない場合は「なし」と回答する。

(2) 関数 $f(x) = \arctan x$ ($-1 < x < 1$) をマクローリン展開したときの $x^7$ の項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $f(x) = x^{\frac{3}{x}}$ の両辺の自然対数を取る。

$$\ln f(x) = \ln \left( x^{\frac{3}{x}} \right) = \frac{3}{x} \ln x = \frac{3 \ln x}{x}$$

次に、両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3 \cdot \frac{1}{x} \cdot x - 3 \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{3 - 3 \ln x}{x^2} = \frac{3(1 - \ln x)}{x^2}$$

よって、

$$f'(x) = f(x) \cdot \frac{3(1 - \ln x)}{x^2} = x^{\frac{3}{x}} \cdot \frac{3(1 - \ln x)}{x^2}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$x^{\frac{3}{x}} > 0$ および $x^2 > 0$ より、 $1 - \ln x = 0$ となる $x$ を探す。

$\ln x = 1$ より、 $x = e$。

$x < e$ のとき $\ln x < 1$ なので $f'(x) > 0$。$x > e$ のとき $\ln x > 1$ なので $f'(x) < 0$。

したがって、$x = e$ で極大値をとり、極大値は $f(e) = e^{\frac{3}{e}}$。

(2)

$\arctan x$ のマクローリン展開は

$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$$

したがって、$x^7$ の項は $-\frac{x^7}{7}$。

3. 最終的な答え

(1) $x=e$ で極大値 $e^{\frac{3}{e}}$ をとる。

(2) $-\frac{x^7}{7}$