定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$u = \log(x^2+1)$, $dv = dx$ とすると、 $du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x$ となります。

部分積分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

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\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx = \left[ x \log(x^2+1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{2x}{x^2+1} \, dx

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= \left[ x \log(x^2+1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2+1} \, dx

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ここで、 $\left[ x \log(x^2+1) \right]_{0}^{1} = 1 \cdot \log(1^2+1) - 0 \cdot \log(0^2+1) = \log 2 - 0 = \log 2$ です。

また、

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\int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2+1} \, dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2+1} \, dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \, dx = 2 \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{x^2+1} \right) \, dx

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= 2 \left[ x - \arctan x \right]_{0}^{1} = 2 \left[ (1 - \arctan 1) - (0 - \arctan 0) \right] = 2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = 2 - \frac{\pi}{2}

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したがって、

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\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx = \log 2 - \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}

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3. 最終的な答え

$\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$

または

$\frac{\pi}{2} + \log 2 - 2$