関数 $f(x) = \arctan x$ ($-1 < x < 1$) のマクローリン展開における $x^7$ の項を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arctan x$ ($-1 < x < 1$) のマクローリン展開における $x^7$ の項を求める。

2. 解き方の手順

$\arctan x$ のマクローリン展開を求めるために、$f'(x)$ を計算し、それを積分します。

$f(x) = \arctan x$ なので、

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{1}{1+x^2}$ を等比級数で展開すると、

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

この級数を積分すると、$\arctan x$ のマクローリン展開が得られます。

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots) dx$

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \cdots + C$

$x=0$ のとき、$\arctan(0) = 0$ であるから、$C=0$ です。

よって、

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \cdots$

$x^7$ の項は $-\frac{x^7}{7}$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{x^7}{7}$