(1) $\lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x + 5^x)^{\frac{1}{x}}$ を求める。 (2) 関数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} & (x, y) \neq (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \end{cases}$ が点 $(0, 0)$ で連続かどうか調べる。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x + 5^x)^{\frac{1}{x}}$ を求める。

(2) 関数

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{xy^2}{x^2 + y^4} & (x, y) \neq (0,0) \\

0 & (x, y) = (0,0)

\end{cases}$

が点 $(0, 0)$ で連続かどうか調べる。

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x + 5^x)^{\frac{1}{x}}$ を計算する。

$\lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x + 5^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} (5^x((\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x + 1))^{\frac{1}{x}}$

$= \lim_{x \to \infty} 5((\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x + 1)^{\frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$(\frac{2}{5})^x \to 0$、$(\frac{3}{5})^x \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} ((\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x + 1)^{\frac{1}{x}} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x + 5^x)^{\frac{1}{x}} = 5$

(2)

関数 $f(x, y)$ が点 $(0, 0)$ で連続かどうか調べる。

まず、$f(0, 0) = 0$ である。

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$ が存在するかを調べる。

$x = y^2$ に沿って $(0, 0)$ に近づくと、

$\lim_{y \to 0} \frac{y^2y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{y^4 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}$

$x = 0$ に沿って $(0, 0)$ に近づくと、

$\lim_{y \to 0} \frac{0 \cdot y^2}{0 + y^4} = \lim_{y \to 0} 0 = 0$

したがって、極限値は存在しない。

よって、関数 $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 連続ではない