極限 $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{1+x} - 2 - x}{x^2}$ を計算します。

## 問題8.2(1)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{1+x} - 2 - x}{x^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、テイラー展開（マクローリン展開）またはロピタルの定理を用いることができます。ここでは、テイラー展開を利用します。

$\sqrt{1+x}$ の $x=0$ におけるテイラー展開は、以下のようになります。

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + O(x^3)$

したがって、

$2\sqrt{1+x} = 2 + x - \frac{1}{4}x^2 + O(x^3)$

これを用いて、元の式を変形します。

$2\sqrt{1+x} - 2 - x = (2 + x - \frac{1}{4}x^2 + O(x^3)) - 2 - x = -\frac{1}{4}x^2 + O(x^3)$

したがって、

$\frac{2\sqrt{1+x} - 2 - x}{x^2} = \frac{-\frac{1}{4}x^2 + O(x^3)}{x^2} = -\frac{1}{4} + O(x)$

$x \to 0$ のとき、$O(x) \to 0$ なので、極限は $-\frac{1}{4}$ になります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4}$

## 問題8.2(2)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)x}{x - \sin x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、テイラー展開（マクローリン展開）またはロピタルの定理を用いることができます。ここでは、テイラー展開を利用します。

$\cos x$ と $\sin x$ の $x=0$ におけるテイラー展開は、以下のようになります。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

したがって、

$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

これを用いて、元の式を変形します。

$\frac{(1 - \cos x)x}{x - \sin x} = \frac{(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6))x}{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)} = \frac{\frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^7)}{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)}$

分子と分母を $x^3$ で割ると、

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + O(x^4)}{\frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + O(x^4)}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{x^2}{24} \to 0$, $\frac{x^2}{120} \to 0$ なので、極限は $\frac{1/2}{1/6} = 3$ になります。

3. 最終的な答え

3