問題は2つの部分から構成されています。 (1) $ \sin\theta - \cos\theta $ を $ r\sin(\theta + \alpha) $ の形に変形します。ただし、$ r > 0, -\pi < \alpha \le \pi $ です。 (2) $ y = \sin 2x - 2\sin x - 2\cos x - 1 $ について、 (i) $ t = \sin x + \cos x $ とおいたとき、$ y $ を $ t $ の式で表します。 (ii) $ 0 \le x < 2\pi $ のとき、$ y $ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) $\sin\theta - \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。ただし、$r > 0, -\pi < \alpha \le \pi$ です。

(2) $y = \sin 2x - 2\sin x - 2\cos x - 1$ について、

(i) $t = \sin x + \cos x$ とおいたとき、$y$ を $t$ の式で表します。

(ii) $0 \le x < 2\pi$ のとき、$y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta - \cos\theta$ を合成します。

$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \sin(\theta + \alpha) = \sqrt{2} \sin(\theta + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\alpha$ を求めると、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

(2)

(i) $t = \sin x + \cos x$ とおくと、$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x$

したがって、$\sin 2x = t^2 - 1$ となります。

$y = \sin 2x - 2\sin x - 2\cos x - 1 = (t^2 - 1) - 2(\sin x + \cos x) - 1 = t^2 - 1 - 2t - 1 = t^2 - 2t - 2$

(ii) $y = t^2 - 2t - 2 = (t-1)^2 - 3$

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ なので、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ です。

$y$ は $t = 1$ で最小値 $-3$ をとります。これは $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ の範囲に含まれています。

$t = -\sqrt{2}$ のとき、$y = (-\sqrt{2} - 1)^2 - 3 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 3 = 2\sqrt{2}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = (\sqrt{2} - 1)^2 - 3 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 - 3 = -2\sqrt{2}$

したがって、$t = -\sqrt{2}$ のとき、$y$ は最大値 $2\sqrt{2}$ をとります。

最小値は$-3$

最大値は$2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1: 2, 2: 1, 3: 4

(2) (i) 4: 2, 5: 2

(ii) 6: -2, 7: √, 8: 2

9: 2, 10: √2

11: -, 12: 3