(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$ で定義される曲線 $C$ 上の点 $(2, f(2))$ における接線 $l_1$ を求める。また、$l_1$ と平行な $C$ の接線 $l_2$ を求め、その接点と $l_1$ の距離を求める。さらに、$C$ と $y$ 軸との交点を通り、$l_1$ と平行な直線 $l_3$ を求め、$C$ と $l_3$ の共有点の座標のうち最大のものを求め、$C$ と $l_3$ で囲まれた二つの図形の面積の和を求める。 (2) $\int_0^1 f(t) dt = a$ を実数とし、すべての実数 $x$ に対して $\int_0^1 f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$ および $g(x) = x^2 - 2x \int_0^1 f(t) dt + 1$ を満たす関数 $f(x)$, $g(x)$ を求める。$h(x) = \int_0^x f(t) dt$ とおき、$h(0)$, $g(x)$, $h(1)$, $a$, $f(x)$ を求め、関数 $h(x)$ がどのような極値を持つか調べる。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$ で定義される曲線 $C$ 上の点 $(2, f(2))$ における接線 $l_1$ を求める。また、$l_1$ と平行な $C$ の接線 $l_2$ を求め、その接点と $l_1$ の距離を求める。さらに、$C$ と $y$ 軸との交点を通り、$l_1$ と平行な直線 $l_3$ を求め、$C$ と $l_3$ の共有点の座標のうち最大のものを求め、$C$ と $l_3$ で囲まれた二つの図形の面積の和を求める。

(2) $\int_0^1 f(t) dt = a$ を実数とし、すべての実数 $x$ に対して $\int_0^1 f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$ および $g(x) = x^2 - 2x \int_0^1 f(t) dt + 1$ を満たす関数 $f(x)$, $g(x)$ を求める。$h(x) = \int_0^x f(t) dt$ とおき、$h(0)$, $g(x)$, $h(1)$, $a$, $f(x)$ を求め、関数 $h(x)$ がどのような極値を持つか調べる。

2. 解き方の手順

(1)

- $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1$ より、$f'(x) = x^2 - 1$。

- $f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 2 + 1 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$。

- $f'(2) = 2^2 - 1 = 3$。

- 点 $(2, \frac{5}{3})$ における接線 $l_1$ の方程式は $y - \frac{5}{3} = 3(x - 2)$ より、$y = 3x - 6 + \frac{5}{3} = 3x - \frac{13}{3}$。

- $l_1$ と平行な接線 $l_2$ の傾きは 3。$f'(x) = x^2 - 1 = 3$ より、$x^2 = 4$、$x = \pm 2$。$x = 2$ は $l_1$ の接点なので、$x = -2$。

- $f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2) + 1 = -\frac{8}{3} + 3 = \frac{1}{3}$。

- 点 $(-2, \frac{1}{3})$ における接線 $l_2$ の方程式は $y - \frac{1}{3} = 3(x + 2)$ より、$y = 3x + 6 + \frac{1}{3} = 3x + \frac{19}{3}$。

- $l_1: 3x - y - \frac{13}{3} = 0$ より、点 $(-2, \frac{1}{3})$ と $l_1$ の距離は $\frac{|3(-2) - \frac{1}{3} - \frac{13}{3}|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6 - \frac{14}{3}|}{\sqrt{10}} = \frac{|-\frac{32}{3}|}{\sqrt{10}} = \frac{32}{3\sqrt{10}} = \frac{32\sqrt{10}}{30} = \frac{16\sqrt{10}}{15}$。

- $C$ と $y$ 軸の交点は $(0, 1)$。$l_1$ と平行な直線 $l_3$ の方程式は $y - 1 = 3(x - 0)$ より、$y = 3x + 1$。

- $\frac{1}{3}x^3 - x + 1 = 3x + 1$ より、$\frac{1}{3}x^3 - 4x = 0$、$x(x^2 - 12) = 0$。$x = 0, \pm 2\sqrt{3}$。

- 共有点の座標は $(0, 1), (2\sqrt{3}, 6\sqrt{3}+1), (-2\sqrt{3}, -6\sqrt{3}+1)$。最大のものは $(2\sqrt{3}, 6\sqrt{3}+1)$ なので、$x$ 座標は $2\sqrt{3}$。

- 面積は $\int_{-2\sqrt{3}}^0 (3x+1 - (\frac{1}{3}x^3 - x + 1)) dx + \int_0^{2\sqrt{3}} (\frac{1}{3}x^3 - x + 1 - (3x+1)) dx = 2 \int_0^{2\sqrt{3}} (-\frac{1}{3}x^3 + 4x) dx = 2[-\frac{1}{12}x^4 + 2x^2]_0^{2\sqrt{3}} = 2[-\frac{1}{12}(2\sqrt{3})^4 + 2(2\sqrt{3})^2] = 2[-\frac{1}{12}(144) + 2(12)] = 2[-12 + 24] = 2(12) = 24$。

(2)

- $\int_0^1 f(t) dt = h(1) = a$。

- $h(0) = \int_0^0 f(t) dt = 0$。

- $\int_0^1 f(t) dt = xg(x) + (a+1)x - 2$ に $x = 0$ を代入すると、$a = 0 \cdot g(0) + (a+1)(0) - 2$ より、$a = -2$。

- $g(x) = x^2 - 2x \int_0^1 f(t) dt + 1 = x^2 - 2x(-2) + 1 = x^2 + 4x + 1$。

- $h(1) = a = -2$。

- $g(x) = x^2 - 2x a + 1$。$\int_0^1 f(t) dt = x(x^2 - 2ax + 1) + (a+1)x - 2 = x^3 - 2ax^2 + x + ax + x - 2$。両辺を $x$ で微分すると、$0 = 3x^2 - 4ax + 2 + a$ より、$a = -2$。

- $g(x) = x^2 + 4x + 1$。$\int_0^1 f(t) dt = a = -2$ より、$f(x) = -x^2 - \frac{1}{2}x + 1$。

3. 最終的な答え

(1) ア:3, イウ:-13/3, エ:3, オカ:-2, キ:1/3, ケコ:16√10/15, サシ:0, スセ:1, ソ:2√3, タ:24

(2) テト:0, ナ:x²+4x+1, ヌ:-2, ネ:-x²-1/2x, ハ:1

関数 $h(x)$ は極値を持つ。$h'(x) = f(x) = -x^2-\frac{1}{2}x+1 = 0$ となる $x$ を求めると、$x = \frac{-(-1/2) \pm \sqrt{(-1/2)^2 - 4(-1)(1)}}{2(-1)} = \frac{1/2 \pm \sqrt{1/4+4}}{-2} = \frac{1/2 \pm \sqrt{17}/2}{-2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{-4}$。 $x_1 = \frac{1-\sqrt{17}}{-4} > 0$, $x_2 = \frac{1+\sqrt{17}}{-4} < 0$。 $x_1, x_2$ において極値をとる。$f(0)=1 > 0$より、$x < x_2$ で $h'(x) < 0$。$x_2 < x < x_1$ で $h'(x) > 0$。$x > x_1$ で $h'(x) < 0$。$h(x)$ は $x=x_1$ で極大値、 $x=x_2$ で極小値をとる。

$h(x_1)> 0$, $h(x_2) < 0$より、極大値は正、極小値は負である。

ヒ:2